浅谈上海高三毕业生应对高校自主招生的考试策略（三）

                         ——自主招生考试数学试题解析

华东师大二附中     范端喜

自从2006年复旦，交大等全国重点院校高考改革试“破冰”以来，各学校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台。全国自主招生学校数目不断增加，而且各学校自主招生规模比例也在增加，引起了上海乃至全国教育界，家长等瞩目。更引起广大中学教师对其命题的高度关注。下面是作为一名数学教师的我个人的一些认识，仅供参考。

1. 试卷特点分析

1.1 基础知识和基本技能仍是考查的重点

我们将基础知识，基本技能称之为“双基”。大家知题，能力与“双基”有着辩证关系；没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水，无本之木。所以，“双基”训练是数学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提。

纵观复旦，交大，清华等高校近几年自主招生笔试题目，我们会发现，有60-70%左右的题目仍是比较基础的问题。例如交大近三年来，填空题都是10题（50分），占试卷的一半，这些填空题比较常规，和高考试题难度相当。复旦的30题左右的选择题中也多半是学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点。

1.2 考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同

复旦，交大等高校近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及到高中数学大纲的所有内容。例如，函数，集合，数列，复数，三角，排列，组合，概率统计，向量，立体几何，解析几何等。

但毕竟高校自主招生试题命题是由大学数学教授完成的，更多会考虑到高等数学与初等数学的衔接，所以提请大家注意一下几个方面：

函数和方程问题，排列组合和概率统计等。笔者粗略统计了一下，2008年复旦自主招生试题中与函数和方程有关的试题多达10题，占31%。

复数。复数通常在高考中要求也比较低，占的比分也较少，但在复旦自主招生中似乎复数仍占有一席之地（2008及2007年分别有2题和3题）。

矩阵和行列式。目前还未纳入高考范围。但由于是高等数学中一个非常重要的内容，在复旦自主招生试题中，近几年每年都有试题。

以上各点，望能引起广大师生的注意。

当然由于上述同样的原因，尽管高考中解析几何是一个比较重要的内容，但在复旦自主招生中所占比例却较少，例如，2008，2007年自主招生各只有2题和1题。

1.3 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

如2008年交大冬令营数学试题有这样一个问题：

通信工程中常用n元数组 表示信息，其中 或1， ．设 ， ， 表示 和 中相对应的元素不同的个数．

（１） 问存在多少个5元数组  使得 ；

（２） 问存在多少个5元数组  使得 ；

（３）令 ， ， ，

求证： ．

此问题与计算机中的“二进制”有关，前两问是排列组合计数问题，尤其是第三问有一定的挑战性。可把 。

1.4 突出对思维能力和解题技巧的考查

近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，有时甚至达到相当数学竞赛一试难度。

例如，2007年交大冬令营自主招生试题中有这样一个问题：

设 ，试证明对任意实数 ：

（1）方程 总有相同实根；

（2）存在 ，恒有 ．

这两问解决的策略和方法是：换一个角度看成一个关于 的一次函数。

2. 应试和准备策略

针对上述自主招生试题特点，学生复习时应注意以下几点。

2.1 注意知识点的全面

数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，剩下的就是个人的现场发挥。数学还时要靠平时点滴扎扎实实的学习才能考出好成绩，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。

另外，对上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。

2.2 适当做近几年的自主招生的真题

俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。

2.3 注重知识的延伸加深

复旦，交大，清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍简单。有些问题稍有一定的深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。例如2008年复旦自主招生的第77题：

四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题    以及—个三角学问题。具体情况如下表所述：

其中有三位学生一个问题都没有解决。同三个问题都解决的学生数是(      ) 。

   A.5            B.6         C.7           D.8

此题，若是用画图，文氏图虽能解决，但花的时间较多，若是知题三个集合的容斥原理。 只要代入公式，马上就可解决。

又如第88题：

 设x1,x2,x3是方程x3+x+2=0的三个根，则行列式 =(      )

   A.-4         B.-1        C.0           D.2

此题若是知道三次方程的韦达定理，则也容易解决。而三次方程的韦达定理虽然可以推导出来，但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉，对三次方程则比较陌生。

又比如，柯西不等式可以解决许多不等式问题，但由于目前上海高考不考。所以很多高中生对此不熟悉。

总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。

以上是个人对高校自主招生的一些看法，所讲如有不妥之处，还请行家批评指正。