2008年浙江大学自主招生数学试题

１.有一个圆锥正放，它的高为h，圆锥内水面高为h_1，h_1=2/3h，将圆锥倒置，求倒置的水面高度h_2。

２.椭圆x^2+4(y-a)^2=4与抛物线x^2=2y有公共点，求a的取值范围。

３.已知a>0，b>0，log_9a=log_12b=log_16(a+b)，求b/a的值。

４.Ａ＝｛x,y|(x-1)^2+(y-2)^2≤4/5｝，Ｂ＝｛|x-1|+2|y-2|≤a｝，ＡsubeＢ，求a的取值范围。

５.已知Ａ，Ｂ，Ｃ为△ＡＢＣ的三个内角，求证：cosB+cosC+2a/(b+c)≤4sinA/2。

６.已知，a>0,b>0，求证1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)〈n/(sqrt(a+1/2b)(a+(n+1)/2b)。

７.x>0,y>0,a=x+y，b=sqrt(x^2+xy+y^2)，c=m sqrt(xy)，求是否存在正数m使得对于任意正数x,y可使a,b,c为三角形的三边构成三角形，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由。